Всесоюзные олимпиады • Городские олимпиады • Олимпиады по методике Избранные задачи • Разное • Ссылки

Олимпиада по математике
математический факультет ОмГУ, 12 декабря 1998 года

  1. Все натуральные числа раскрашены в два цвета (черный и белый, оба цвета присутствуют). Известно, что сумма черного и белого черная, а произведение черного и белого – белое. Докажите, что произведение двух белых – белое и найдите все возможные варианты раскраски.

  2. Рассмотрим последовательность , заданную начальными условиями и рекуррентным соотношением . Найдите

  3. Найдите размерность векторного пространства -матриц, компоненты которых удовлетворяют условию для всех .

  4. О числах известно, что при всех выполняется неравенство . Докажите, что

  5. Существует ли непрерывная вещественная функция на такая, что ? Существует ли такая разрывная функция?

  6. Предположим, что все корни многочлена вещественны. Докажите, что при всех все корни многочлена тоже вещественны.

  7. По неподвижному эллипсу катится без скольжения равный ему эллипс так, что в каждый момент времени они симметричны относительно общей касательной. Какие линии описывают фокусы движущегося эллипса?

  8. Пусть – корни многочлена . Найдите

  9. Полуоси эллипса, полученного сечением эллипсоида с полуосями , где , плоскостью, проходящей через его центр, равны и , . Докажите, что .

  10. Найдите

    где – канторова лестница.

  11. Докажите, что дифференциальное уравнение не имеет непрерывно дифферецируемых ограниченных на решений.

  12. В уставе клуба любителей бриджа записано следующее:

    1) партии могут играться лишь в составе четверок, указанных в приложении к уставу;
    2) каждая пара игроков должна быть в составе хотя бы одной четверки;
    3) пересечение любых двух различных четверок должно состоять из пары игроков.

    Приведите свои соображения о составлении приложения.


Всесоюзные олимпиады • Городские олимпиады • Олимпиады по методике Избранные задачи • Разное • Ссылки