Всесоюзные олимпиады • Городские олимпиады • Олимпиады по методике Избранные задачи • Разное • Ссылки

Заключительный тур Всесоюзной олимпиады
"Студент и научно-технический прогресс"
по математике для студентов нематематических специальностей

———  1981 • 1982 • 1983 • 1984 • 1985  ———


18-21 ноября 1983 г., Омск

  1. Доказать, что векторное уравнение для любых векторов и имеет ненулевое решение.

    Решение   

  2. При каких натуральных система линейных уравнений

    совместна?

    Решение   

  3. Составить из дуг парабол криволинейный треугольник наименьшей площади с заданными вершинами (стороны треугольника должны пересекаться только в вершинах и быть направлены выпуклостью внутрь).

    Решение   

  4. Найти .

    Решение   

  5. Определенная на функция положительна и убывает, причем сходится. Доказать, что существует предел . Чему он равен?

    Решение   

  6. Функция представлена в виде , где – квадратный трехчлен, а функция дважды дифференцируема. Доказать, что вторая производная обладает тем же свойством: для некоторой функции .

    Решение   

  7. Доказать, что

    Решение   

  8. Пусть – непрерывная возрастающая на функция, . Обозначим через координаты центра тяжести подграфика на интервале (то есть фигуры, ограниченной линиями , ,; плотность постоянна).
    а)   Считая известной функцию , найти , если .
    б)   Доказать, что, при дополнительном условии выпуклости вниз функции

    для всех верны неравенства

    Решение   

  9. Непрерывная и неотрицательная на круге функция для всех , , удовлетворяет неравенству

    Доказать, что .

    Решение   

  10. Какие качественные особенности (экстремумы, точки перегиба, асимптоты) может иметь график решения дифференциального уравнения Перечислить все особенности и построить эскизы графиков; значения , при которых эти возможности реализуются, можно не указывать.

    Решение   

  11. Найти , где и – натуральные числа, и – комплексные числа, а наибольшее значение берется по множеству комплексных чисел таких, что .
    Решение   



———  1981 • 1982 • 1983 • 1984 • 1985  ———

Всесоюзные олимпиады • Городские олимпиады • Олимпиады по методике Избранные задачи • Разное • Ссылки